Метод координат в пространстве является одним из способов решения задач‚ связанных с векторами и координатами в пространстве․ В данной статье я расскажу о применении этого метода на примерах различных задач․1․ Задача 1⁚
a) Даны точки A(1‚2‚3)‚ B(3‚2‚-1)‚ C(5‚8‚-1)․ Чтобы найти координаты векторов AB и BC‚ мы можем вычислить разности координат между соответствующими точками․
Вектор AB⁚
AB B ⎼ A (3-1‚ 2-2‚ -1-3) (2‚ 0‚ -4)․
Вектор BC⁚
BC C ⎼ B (5-3‚ 8-2‚ -1 1) (2‚ 6‚ 0)․
б) Чтобы найти абсолютную величину вектора AC‚ мы можем использовать формулу⁚
|AC| √(x^2 y^2 z^2)‚
где x‚ y и z ⎼ это координаты вектора AC․ В данном случае⁚
|AC| √((5-1)^2 (8-2)^2 (-1-3)^2) √(4^2 6^2 (-4)^2) √(16 36 16) √68 ≈ 8․246․2․ Задача 2⁚
Даны векторы а(3‚-4‚-3) и b(-5‚2‚-4)․ Чтобы найти координаты вектора c 4a 2b‚ мы можем умножить соответствующие координаты векторов на указанные числа и сложить результаты․
Вектор c⁚
c 4a 2b (4*3‚ 4*(-4)‚ 4*(-3)) (2*(-5)‚ 2*2‚ 2*(-4)) (12‚ -16‚ -12) (-10‚ 4‚ -8) (2‚ -12‚ -20)․3․ Задача 3⁚
Чтобы найти значение параметра n при котором векторы a и b перпендикулярны‚ мы можем использовать свойство перпендикулярности векторов ⎼ их скалярное произведение равно нулю․
Скалярное произведение векторов a и b⁚
a • b (-7)*(1) (-n)*(5) (3)*(n) -7 ‒ 5n 3n -7 ⎼ 2n․
Приравниваем скалярное произведение к нулю⁚
-7 ‒ 2n 0․
Решаем уравнение⁚
-2n 7․
n -7/2․
Таким образом‚ при n -7/2 векторы a и b перпендикулярны․4․ Задача 4⁚
Чтобы найти значения параметров m и k при которых векторы c и d коллинеарны‚ мы можем использовать свойство коллинеарности векторов ‒ они имеют одинаковое направление или противоположное направление‚ то есть соответствующие координаты пропорциональны․
Сравниваем координаты векторов c и d⁚
14/m -6/3‚
m/3 -3/k․
Находим значения параметров⁚
14/m -6/3‚
14 -2m‚
m -7․
m/3 -3/k‚
-7/3 -3/k‚
-7k -9‚
k 9/7․
Таким образом‚ при m -7 и k 9/7 векторы c и d коллинеарны․5․ Задача 5⁚
Даны точки A(2‚1‚5)‚ B(0‚-1‚1) и C(2‚1‚3)․ Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма ABCD‚ мы можем использовать свойство параллелограмма ⎼ противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны․
Вектор AB⁚
AB B ‒ A (0-2‚ -1-1‚ 1-5) (-2‚ -2‚ -4)․
Вектор AD⁚
AD AB AC (-2 2‚ -2 1‚ -4 3) (0‚ -1‚ -1)․
Координаты вершины D⁚
D A AD (2 0‚ 1 (-1)‚ 5 (-1)) (2‚ 0‚ 4)․
Длины сторон параллелограмма⁚
AB √((-2)^2 (-2)^2 (-4)^2) √(4 4 16) √24 ≈ 4․899‚
BC √((2-0)^2 (1 1)^2 (3-1)^2) √(4 4 4) √12 ≈ 3․464‚
CD √((2-2)^2 (1-0)^2 (3-4)^2) √(0 1 1) √2 ≈ 1․414‚
DA √((2-2)^2 (1-0)^2 (5-4)^2) √(0 1 1) √2 ≈ 1․414․
Таким образом‚ координаты вершины D параллелограмма ABCD равны (2‚ 0‚ 4)‚ а длины его сторон⁚ AB ≈ 4․899‚ BC ≈ 3․464‚ CD ≈ 1․414‚ DA ≈ 1․414․6․ Задача 6⁚
Даны точки M(1‚-1‚3)‚ N(3‚-1‚1) и T(-1‚1‚3)․ Чтобы найти градусную меру угла М треугольника MNT‚ мы можем использовать свойство скалярного произведения векторов и формулу для нахождения косинуса угла между векторами․
Векторы MN и MT⁚
MN N ‒ M (3-1‚ -1 1‚ 1-3) (2‚ 0‚ -2)‚
MT T ‒ M (-1-1‚ 1 1‚ 3-3) (-2‚ 2‚ 0)․
Скалярное произведение векторов MN и MT⁚
MN • MT (2)*(-2) (0)*(2) (-2)*(0) -4 0 0 -4․
Находим градусную меру угла М⁚
cos(α) (MN • MT) / (|MN| * |MT|)‚
cos(α) -4 / (√(2^2 0^2 (-2)^2) * √((-2)^2 2^2 0^2))‚
cos(α) -4 / (√(4 0 4) * √(4 4 0))‚
cos(α) -4 / (√8 * √8)‚
cos(α) -4 / (2 * 2)‚
cos(α) -4 / 4 -1․
Таким образом‚ градусная мера угла М треугольника MNT равна 180°‚ так как cos(α) -1․