Привет! Меня зовут Александр, и я с удовольствием расскажу тебе о моем опыте решения данной математической задачи.
Для начала, давай разберемся с формулой. У нас есть выражение ¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P)∨(x ∈ R))) → (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)), которое мы хотим, чтобы тождественно истинно для любого значения переменной x.
По условию задачи, у нас имеются три отрезка на числовой прямой⁚ P [13; 31], Q [18; 80] и R [48; 114]. Значки ∈ и → обозначают соответственно принадлежность элемента к множеству и импликацию.Метод раскрытия скобок с использованием правил де Моргана в данном случае поможет нам разобраться с формулой и решить задачу.Для начала, раскроем скобку внутри отрицания ¬((x ∈ Q) → ((x ∈ P)∨(x ∈ R))). Правило де Моргана определяет, что ¬(A → B) A ∧ ¬B. Применяя это правило, получим⁚
¬(x ∈ Q) ∧ ¬((x ∈ P)∨(x ∈ R)).Затем, раскроем вторую скобку в получившемся выражении (x ∈ P)∨(x ∈ R). Правило де Моргана в данном случае имеет вид ¬(A∨B) ¬A ∧ ¬B.
Применяя это правило, получим⁚ ¬(x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ R).Подставим полученные выражения в нашу исходную формулу⁚
(¬(x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ R)) → (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)).
Теперь рассмотрим вторую часть формулы (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q)). Опять же, применим правило де Моргана⁚ ¬(A → B) A ∧ ¬B.В нашем случае получим⁚ (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ Q).Теперь, подставим полученные выражения в исходную формулу⁚
(¬(x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ R)) → ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ Q)).Осталось раскрыть скобки в исходной формуле. Для этого воспользуемся тем, что A → B ¬A ∨ B;Получим следующее выражение⁚
(¬(x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ R)) → (¬((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ Q))) → (¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ Q)).Теперь воспользуемся свойством ¬(A ∧ ¬B) A ∨ B⁚
(¬(x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ P) ∧ ¬(x ∈ R)) → ((x ∈ A) ∨ (x ∈ Q)).Наконец, используя свойство A ∧ B → C ¬(A ∧ B) ∨ C, получим конечный вид формулы⁚
(¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈ P) ∨ (x ∈ R)) → ((x ∈ A) ∨ (x ∈ Q)).Видно, что для того, чтобы данная формула была тождественно истинно для любого значения переменной x, достаточно взять отрезок A таким образом, чтобы он содержал точки из отрезков P и R, исключая отрезок Q. Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка A будет равна разности между верхней границей отрезка P и нижней границей отрезка R⁚
A [31; 48].
Вот и все! Я рассказал тебе о своем опыте решения данной задачи и дал подробные объяснения использованных правил и шагов. Надеюсь, это помогло тебе понять решение задачи. Если у тебя остались вопросы, не стесняйся задавать их!