Минимальное количество чисел на доске будет 6. Допустим‚ все числа на доске имеют четное количество цифр. В таком случае сумма всех чисел с четной цифрой в конце будет кратна 10. Но сумма 7007 не делится на 10‚ поэтому это предположение неверно. Теперь рассмотрим вариант‚ когда все числа имеют нечетное количество цифр. В таком случае сумма всех чисел будет также иметь нечетное количество цифр‚ так как сумма нечетного числа нечетных чисел также будет нечетным числом. Однако сумма 7007 имеет четное количество цифр‚ поэтому и это предположение неверно. Таким образом‚ на доске должны быть числа‚ имеющие одинаковую четность цифр. Для этого предположим‚ что на доске 4 числа с четным количеством цифр и 2 числа с нечетным количеством цифр. Пусть x и y ⎼ два числа с нечетным количеством цифр‚ а a‚ b‚ c и d ‒ четыре числа с четным количеством цифр.
Тогда можем записать следующие уравнения⁚
x y a b c d 7007 (1)
x y 7n 1 (2)‚ где n ‒ натуральное число
a b c d 7007 ‒ (7n 1) 7006 ⎼ 7n (3)
Так как x и y ⎼ числа с нечетным количеством цифр‚ их сумма также будет иметь нечетное количество цифр. В уравнении (2) мы выражаем это свойство 7n 1‚ где n ‒ натуральное число. Теперь посмотрим на уравнение (3). Сумма a b c d должна быть числом‚ которое делится на 7‚ так как 7006 ⎼ 7n делится на 7. Так как на доске должны быть только числа с четным количеством цифр‚ то их сумма также должна быть числом с четным количеством цифр. Следовательно‚ сумма 7006 ‒ 7n должна быть четным числом для любого значения n. Но сумма 7006 ⎼ 7n делится на 7‚ что значит‚ что она будет иметь нечетное количество цифр в десятичной системе счисления. Таким образом‚ наше предположение о двух числах с нечетным количеством цифр неверно. Таким образом‚ наименьшее количество чисел‚ которое может быть написано на доске‚ ‒ это 6 чисел.