Я решил посмотреть, сколько натуральных чисел до 4000 можно представить в виде разности 2^k ─ 2^s, где k и s являются целыми числами․ Прежде чем приступить к решению, давайте разберемся с тем, что означает эта формула․В выражении 2^k ‒ 2^s, k и s представляют собой показатели степени двойки․ Отрицательные значения для k и s подразумевают деление на 2 вместо возведения в степень․
Начнем с k 1 и s 0․ Тогда у нас будет только одно число⁚ 2^1 ‒ 2^0 2․ Заметим٫ что это единственное число٫ которое является разностью степеней двойки для k 1 и s 0․ Для k 2 и s 0٫ у нас будет два числа⁚ 2^2 ─ 2^0 4 ‒ 1 3 и 2^2 ‒ 2^0 4 ‒ 1 3․ Когда k 3 и s 0٫ у нас будет три числа⁚ 2^3 ‒ 2^0 8 ─ 1 7٫ 2^3 ─ 2^0 8 ─ 1 7 и 2^3 ─ 2^0 8 ─ 1 7․ Продолжая этот процесс٫ я заметил٫ что каждый раз получаю одно и то же значение٫ умноженное на количество целей․ Например٫ для k 4 и s 0٫ я получаю 2^4 ─ 2^0 16 ─ 1 15٫ 2^4 ─ 2^0 16 ‒ 1 15 и 2^4 ‒ 2^0 16 ‒ 1 15․ Явно видно٫ что повторяется одно и то же число٫ конкретно 15․ Исходя из этого наблюдения٫ нам понадобится узнать٫ сколько раз 15 можно вычесть из числа 4000 без получения отрицательных значений․ Пусть n ─ это количество раз٫ сколько раз 15 можно вычесть из 4000․
4000 ─ 15n ≥ 0
Решая это неравенство, получаем⁚
n ≤ 4000/15
Выполнив деление, мы получаем примерно 266,6667․ Округляя до ближайшего целого, мы получаем 267․
Таким образом, количество натуральных чисел, меньших 4000, которые можно представить в виде разности 2^k ‒ 2^s, где k и s ‒ целые числа, равно 267․