Задача ″Найдите сумму всех целых x, удовлетворяющих неравенству 3|2x 4|−12−−−−−−−−−−√≥x2−4x−12−−−−−−−−−−√″ ⏤ интересное математическое упражнение, с которым я столкнулся не так давно. Разумеется, я постарался решить его самостоятельно, и хочу рассказать о своем опыте.Для начала, давайте разберемся, что означает данное уравнение. В неравенстве у нас есть выражения с модулем и показателями степени. Предлагаю поэтапно решить его.1. Раскроем модуль⁚
Если аргумент модуля (2x 4) положителен, то его можно убрать, так как модуль становится излишним⁚ 3(2x 4)−12−^2 ≥ x^2−4x−12−^2.
Если аргумент модуля (2x 4) отрицателен٫ то нужно изменить его знак и продолжить решение⁚ -3(2x 4)−12−^2 ≥ x^2−4x−12−^2.2. Сократим выражения⁚
В первом случае получаем⁚ 6x 12−12−^2 ≥ x^2−4x−12−^2.
Во втором случае получаем⁚ -6x-12−12−^2 ≥ x^2−4x−12−^2.
В обоих случаях -12−^2 может быть сокращен с противоположно знаком -12−^2 в правой части неравенства.3. Улучшим формулу⁚
Во всех случаях останется⁚ 6x ≥ x^2−4x.
Перенесем все в одну сторону и приведем подобные члены⁚ 0 ≥ x^2−4x−6x.
Получим квадратное уравнение⁚ 0 ≥ x^2−10x.
4. Решим квадратное уравнение⁚
Заметим, что x0 удовлетворяет условию.
Теперь рассмотрим случай, когда x≠0. Разделим обе части неравенства на x⁚ 0 ≥ x−10.
Из этой формулы можно заключить, что x<10. Вместе с тем, изначально мы предположили, что x≠0, значит, решение лежит в промежутке (-∞, 0) ∪ (0, 10).
5. Подберем все целые решения⁚
Исследуя промежуток (-∞, 0) ∪ (0, 10), мы видим, что все целые числа в этом интервале, кроме 0, удовлетворяют неравенству.
Следовательно, сумма всех целых x, удовлетворяющих данному неравенству, равна сумме всех целых чисел от -9 до -1 и от 1 до 9. Вычислим эту сумму⁚
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.