Для решения данной системы неравенств, я использовал метод графиков и анализа кривых. Я начал с первого неравенства 𝑦^2 − 2𝑥𝑦 64 ≥ 0.
Выделив полный квадрат для 𝑦, мы получаем (𝑦 − 𝑥)^2 (64 − 𝑥^2) ≥ 0.
Так как у нас нет ограничений на 𝑦, то (𝑦 − 𝑥)^2 ≥ 0 и (64 − 𝑥^2) ≥ 0.
Первое неравенство всегда будет истинным, так как это квадрат. Второе неравенство, (64 − 𝑥^2) ≥ 0, может иметь два решения⁚ 𝑥 ≤ -8 или 𝑥 ≥ 8.Перейдем ко второму неравенству, 25𝑦^2 − 10𝑥𝑦 𝑥^2 − 𝑥 ≥ 0.
Это уже более сложное неравенство, поэтому оно требует дальнейшего анализа. Представим его в виде биквадратного уравнения⁚ (5𝑦 − 𝑥)^2 − 𝑥(5𝑦 − 𝑥) ≥ 0.
Теперь мы видим, что у нас есть два возможных значения⁚
1) (5𝑦 − 𝑥)^2 ≥ 0 и 𝑥(5𝑦 − 𝑥) ≥ 0. В этом случае 𝑥 может быть любым.
2) (5𝑦 − 𝑥)^2 ≤ 0 и 𝑥(5𝑦 − 𝑥) ≤ 0. Более подробный анализ показывает, что это возможно только при 𝑦 𝑥/5.
Таким образом, общее количество целых значений 𝑥, удовлетворяющих системе неравенств, равно бесконечности.