Как я нашел все значения параметра a, при которых система уравнений имеет единственное решение
Привет! Меня зовут Максим, и сегодня я расскажу о том, как я нашел все значения параметра a, при которых данная система уравнений имеет единственное решение. Для начала, давайте вспомним уравнение окружности.
Уравнение окружности имеет вид (x-a)^2 (y-b)^2 r^2٫ где (a٫ b) ⎻ координаты центра окружности٫ r ─ радиус окружности. Если мы заметим٫ что оба уравнения в системе подобны окружностям٫ то сможем легко решить данную задачу.
В первом уравнении, центр окружности будет иметь координаты (2a 5, 3a-5), а радиус ─ 4.
Во втором уравнении, центр окружности будет иметь координаты (a 2, 2a-1), а радиус ⎻ 9.
Теперь давайте определим, при каких значениях параметра a, эти окружности не пересекаются, то есть имеют только одну точку пересечения. Чтобы найти это значение, нам нужно найти расстояние между центрами окружностей и сравнить его с суммой и разностью их радиусов.
Используя формулу для расстояния между двумя точками в пространстве, получаем⁚
n#8730; ((2a 5 ─ a-2)^2 (3a-5 ⎻ 2a 1)^2) 13a ⎻ 23 4 9 13
Теперь решим это уравнение⁚
13a ─ 23 13
13a 36
a 36 / 13
Таким образом, наше значение параметра a равно 36/13. Проверим٫ что окружности не пересекаются при данном значении a. Для этого подставим значение a в уравнения окружностей и убедимся٫ что получаем только одну точку пересечения.
(x ─ 2 * (36/13) ⎻ 5)^2 (y ─ 3 * (36/13) 5)^2 16
(x ─ (36/13) ⎻ 2)^2 (y ⎻ 2 * (36/13) 1)^2 81
Получение только одной точки пересечения гарантирует, что система уравнений имеет единственное решение при данном значении параметра a.
В итоге, я нашел, что при значении параметра a равном 36/13, система уравнений имеет единственное решение. Это был пример задачи с использованием уравнений окружностей, и я надеюсь, что мой опыт поможет вам решить подобные задачи в будущем.