Как я нашел каноническое уравнение гиперболы с асимптотами у±х и совпадающими фокусами с эллипсом
Когда я столкнулся с задачей поиска канонического уравнения гиперболы‚ асимптотами которой являются прямые у±х‚ а фокусы совпадают с фокусами эллипса‚ я начал исследовать‚ как можно найти это уравнение. В ходе своего исследования я использовал несколько шагов‚ которые помогли мне выполнить задачу. Первым шагом я решил написать каноническое уравнение гиперболы‚ используя общую формулу гиперболы⁚ (x-h)²/a² ౼ (y-k)²/b² 1. Здесь (h‚ k) ౼ это координаты центра гиперболы. Следующим шагом я решил использовать информацию о фокусах гиперболы. Учитывая‚ что фокусы гиперболы совпадают с фокусами данного эллипса‚ я знал‚ что расстояние от центра гиперболы до фокусов должно быть равно половине фокусного расстояния эллипса. Фокусное расстояние эллипса можно найти по формуле c² a² ౼ b²‚ где c ― это расстояние от центра эллипса до одного из его фокусов. Таким образом‚ чтобы найти фокусное расстояние эллипса‚ я решил использовать уравнение эллипса‚ которое было дано⁚ x²/64 y²/28 1. Подставив значения a и b в формулу c² a² ― b²‚ я нашел‚ что c² 64 ― 28 36. Затем я извлек корень из c²‚ чтобы найти фокусное расстояние c‚ которое было равно 6. Теперь я знал фокусное расстояние гиперболы и координаты его центра‚ которые совпадали с центром эллипса. Чтобы найти параметры гиперболы a и b‚ я воспользовался известными свойствами гиперболы и эллипса⁚ a ― это расстояние от центра гиперболы до ее вершин‚ а b ౼ это расстояние от центра гиперболы до ее вершин. Используя формулу а² b² c²‚ я нашел‚ что а² 6² 4² 36 16 52‚ а затем извлек корень‚ чтобы получить а √52.
Таким образом‚ я получил параметры гиперболы⁚ а √52 и b 4. Теперь я могу записать каноническое уравнение гиперболы‚ используя общую формулу гиперболы и найденные значения параметров⁚ (x-h)²/a² ౼ (y-k)²/b² 1.
Подставив значения h‚ k‚ a и b‚ у меня получилось уравнение⁚ (x-0)²/(√52)² ౼ (y-0)²/4² 1‚ что равносильно x²/52 ― y²/16 1.
И вот я нашел каноническое уравнение гиперболы‚ асимптотами которой являются прямые у±х‚ а фокусы совпадают с фокусами эллипса x²/64 y²/28 1⁚ x²/52 ౼ y²/16 1.