Привет, меня зовут Алексей, и сегодня я хочу рассказать вам о том, как найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y x^2 – 1, y 3, y 8 в интервале от -3 до 0 по оси x․
Для начала, давайте построим графики этих функций․ Здесь мне поможет математический пакет, называемый Geogebra․Итак, мы видим, что есть два графика ─ график функции y x^2 ─ 1 и прямая y 3․ Наша задача ─ найти точки пересечения этих двух функций и площадь между ними․Мы можем найти точки пересечения٫ приравняв функции друг к другу и решив уравнение⁚
x^2 ‒ 1 3
x^2 4
x ±2
То есть, точки пересечения на оси x равны -2 и 2․Теперь мы можем найти площадь фигуры٫ ограниченной этими графиками․ Поскольку мы знаем٫ что y 3 является нижней границей٫ а y x^2 ‒ 1 является верхней границей٫ мы можем использовать интегралы для расчета площади․Формула расчета площади фигуры между двумя функциями в интервале [a٫ b] выглядит так⁚
S ∫[a, b] (f(x) ─ g(x))dx
где f(x) ‒ это верхняя функция, g(x) ─ нижняя функция, dx ‒ дифференциал по оси x․В нашем случае, f(x) x^2 ─ 1, g(x) 3 и интервал [a, b] равен [-2, 2]․Теперь мы можем подставить все значения в формулу⁚
S ∫[-2٫ 2] ((x^2 ‒ 1) ─ 3)dx
S ∫[-2, 2] (x^2 ─ 4)dx
Чтобы решить этот интеграл, нужно найти примитивную функцию для выражения x^2 ─ 4 и подставить пределы интегрирования․ В данном случае, примитивная функция для x^2 ‒ 4 равна (1/3)x^3 ─ 4x․Теперь мы можем вычислить площадь⁚
S [(1/3)x^3 ─ 4x] от -2 до 2
S (1/3)(2^3 ‒ (-2)^3) ‒ 4(2 ─ (-2))
S (1/3)(8 ─ (-8)) ─ 4(2 2)
S (1/3)(16) ─ 4(4)
S 16/3 ‒ 16
S -16/3
Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y x^2 ‒ 1, y 3, y 8, и -3 < x < 0, равняется -16/3․ Надеюсь, эта статья была полезной для вас․ Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их!