Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Привет, меня зовут Алексей, и сегодня я хотел бы поделиться с вами своим опытом в поиске площади фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями. В данном случае, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями⁚
y x^2 ⎼ 12x 38
y -x^2 16x ⎯ 58
Для начала, давайте посмотрим на график этих двух функций, чтобы получить представление о их форме и точках пересечения⁚
Как видно из графика, эти две функции пересекаются в двух точках. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, мы должны найти значения x, при которых функции пересекаются.
Для этого, мы должны решить систему уравнений⁚
x^2 ⎼ 12x 38 -x^2 16x ⎯ 58
Перенесем все члены в одну сторону и упростим уравнение⁚
2x^2 ⎼ 28x 96 0
Затем, используя квадратное уравнение, находим значения x⁚
x (-b ± √(b^2 ⎼ 4ac)) / (2a)
где a 2, b -28 и c 96. Подставляя значения, мы получаем⁚
x (28 ± √((-28)^2 ⎯ 4*2*96)) / (2*2)
Делаем несложные вычисления⁚
x (28 ± √(784 ⎯ 768)) / 4
x (28 ± √16) / 4
x (28 ± 4) / 4
Таким образом, получаем два значения x⁚ x1 8 и x2 6.
Теперь мы знаем значения x, при которых функции пересекаются. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, нужно найти интеграл от одной функции до другой на интервале [x1, x2]. Для этого, используем формулу⁚
Площадь ∫(от x1 до x2) (верхняя функция ⎼ нижняя функция) dx
Расставим значения и произведем вычисления⁚
Площадь ∫ (от 6 до 8) ((x^2 ⎼ 12x 38) ⎼ (-x^2 16x ⎯ 58)) dx
Площадь ∫ (от 6 до 8) (2x^2 ⎯ 28x 96) dx
Произведем интегрирование⁚
Площадь [ 2/3*x^3 ⎯ 14x^2 96x ] (от 6 до 8)
Подставляем значения и вычисляем⁚
Площадь [ 2/3*8^3 ⎼ 14*8^2 96*8 ] ⎼ [ 2/3*6^3 ⎼ 14*6^2 96*6 ]
Площадь [ 2/3*512 ⎼ 14*64 96*8 ] ⎼ [ 2/3*216 ⎯ 14*36 96*6 ]
После выполнения вычислений, мы получим окончательное значение площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми.
Надеюсь, этот опытный рассказ о поиске площади фигуры, ограниченной линиями, был полезен для вас. Буду рад, если мой опыт поможет вам в решении подобных задач. Удачи!