Нахождение собственного вектора x матрицы A методом обратных итераций является одним из способов приближенного вычисления собственных векторов и значений матрицы. Для этого необходимо иметь начальное приближение x(0) и приближенное значение собственного числа λ.В данном случае матрица A имеет вид⁚
|-5 -3 -8|
| 5 -9 -8|
|-9 -2 -1|
Приближенное значение собственного числа λ ≈ -6.1.Начальное приближение x(0) можно взять равным (1‚ 1‚ 1)T.Для выполнения двух итераций методом обратных итераций необходимо следовать следующим шагам⁚
Шаг 1⁚ Вычисление обратной матрицы
Вычисляем обратную матрицу A^-1. Для этого можно воспользоваться методом Гаусса-Жордана или другими методами вычисления обратной матрицы.Шаг 2⁚ Вычисление нормализованного вектора
Нормализуем начальное приближение x(0)‚ поделив его на его длину. Полученный нормализованный вектор обозначим как x(0).Шаг 3⁚ Вычисление следующего приближения
Вычисляем следующее приближение x(1) как A^-1 * x(0).Шаг 4⁚ Нормализация вектора
Производим нормализацию вектора x(1)‚ поделив его на его длину;Шаг 5⁚ Повторение итераций
Повторяем шаги 3 и 4 еще один раз для получения итогового приближенного собственного вектора x.В нашем случае‚ для выполнения двух итераций‚ проделаем вышеуказанные шаги дважды.Шаг 1⁚
Вычислим обратную матрицу A^-1⁚
|-8 4 -5|
| 23 -16 17|
|-3 2 -1|
Шаг 2⁚
Нормализуем начальное приближение x(0)⁚
x(0) (1‚ 1‚ 1) / sqrt(3) ≈ (0.577‚ 0.577‚ 0.577)
Шаг 3⁚
Вычислим следующее приближение x(1) как A^-1 * x(0)⁚
x(1) A^-1 * x(0) ≈ (-8*0;577 4*0.577 ⸺ 5*0.577‚ 23*0.577 -16*0.577 17*0.577‚ -3*0.577 2*0.577 ⸺ 1*0.577) ≈ (-7.874‚ 10.847‚ -2.878)
Шаг 4⁚
Нормализуем вектор x(1)⁚
x(1) (-7.874‚ 10.847‚ -2.878) / sqrt((-7.874)^2 (10.847)^2 (-2.878)^2) ≈ (-0.648‚ 0.894‚ -0.236)
Шаг 3⁚
Вычислим следующее приближение x(2) как A^-1 * x(1)⁚
x(2) A^-1 * x(1) ≈ (-8*0.648 4*0.894 ⸺ 5*0.236‚ 23*0.648 -16*0.894 17*0.236‚ -3*0.648 2*0.894 ⸺ 1*0.236) ≈ (-4.001‚ 3.034‚ 1.477)
Шаг 4⁚
Нормализуем вектор x(2)⁚
x(2) (-4.001‚ 3.034‚ 1.477) / sqrt((-4.001)^2 (3.034)^2 (1.477)^2) ≈ (-0.620‚ 0.470‚ 0.228)
Ответ записываем построчно через точку с запятой‚ сохраняя две верные цифры⁚
x(1) ≈ (-0.648; 0.894; -0.236);
x(2) ≈ (-0.620; 0.470; 0.228).
Таким образом‚ найденные собственные векторы‚ соответствующие приближенному значению собственного числа λ≈−6.1‚ равны примерно (-0.648; 0.894; -0.236) и (-0.620; 0.470; 0.228).