Привет! Сегодня я хочу рассказать о том, как найти третий член геометрической прогрессии с положительным знаменателем, используя информацию о сумме первых пяти членов и отношении пятого к второму члену.Для начала, давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия. Геометрическая прогрессия ⸺ это последовательность чисел, где каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем. Первый член обозначается как a₁, второй как a₂, третий как a₃ и т.д..У нас есть несколько условий задачи. Первое условие ⸺ сумма первых пяти членов геометрической прогрессии больше суммы первых трех членов на 3. Это можно записать следующим образом⁚
a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ > a₁ a₂ a₃ 3
Упростим это уравнение, вычтя из обеих сторон a₁ a₂ a₃⁚
a₄ a₅ > 3
Второе условие ⏤ пятый член геометрической прогрессии в 8 раз больше второго⁚
a₁ * r⁴ 8 * a₁ * r
Мы знаем, что сумма первых пяти членов превышает сумму первых трех на 3. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии можно записать следующим образом⁚
S₅ a₁ * (r⁵ ⸺ 1) / (r ⏤ 1)
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии записывается так⁚
S₃ a₁ * (r³ ⏤ 1) / (r ⸺ 1)
Теперь мы можем составить уравнение, исходя из условия о сумме⁚
a₁ * (r⁵ ⏤ 1) / (r ⏤ 1) ⸺ a₁ * (r³ ⏤ 1) / (r ⏤ 1) 3
Упростим это уравнение⁚
a₁ * [(r⁵ ⸺ 1) ⸺ (r³ ⏤ 1)] / (r ⸺ 1) 3
Теперь, используя второе условие, можем выразить второй и пятый члены через первый⁚
a₁ * r⁴ 8 * a₁ * r
Переставим члены уравнения⁚
a₁ * (r⁴ ⸺ 8 * r) 0
Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными ⏤ a₁ и r. Решим их систему.Из первого уравнения получим⁚
(r⁵ ⸺ r³) / (r ⏤ 1) 3
Раскроем скобки⁚
(r² ⸺ 1)(r³ ⏤ 1) / (r ⏤ 1) 3
Сократим общий делитель⁚
(r² ⸺ 1)(r³ ⏤ 1) 3(r ⸺ 1)
Раскроем скобки⁚
r⁵ ⏤ r³ ⏤ r² 1 3r ⏤ 3
Получим⁚
r⁵ ⏤ r³ ⸺ r² ⏤ 3r 4 0
Данный пятый степенной полином может быть разложен на простые множители⁚
(r ⏤ 1)(r 1)(r² r ⸺ 2)(r² ⏤ 2r ⸺ 2) 0
Решим получившиеся уравнения⁚
1) r ⏤ 1 0 -> r 1 (не подходит условиям задачи)
2) r 1 0 -> r -1 (не подходит условиям задачи)
3) r² r ⏤ 2 0
Воспользуемся формулой дискриминанта⁚
D b² ⏤ 4ac
a 1, b 1, c -2
D 1² ⸺ 4 * 1 * (-2) 9
Найдем корни уравнения⁚
r₁ (-b √D) / (2a) (-1 3) / 2 1
r₂ (-b ⏤ √D) / (2a) (-1 ⸺ 3) / 2 -2
Таким образом, мы получили два возможных значения для знаменателя геометрической прогрессии ⏤ 1 и -2. Подставим их во второе уравнение, чтобы найти первый член геометрической прогрессии⁚
a₁ * 1⁴ 8 * a₁ * 1 -> a₁ 2
a₁ * (-2)⁴ 8 * a₁ * (-2) -> a₁ -8
Итак, третий член геометрической прогрессии может быть равен или 2 или -8 в зависимости от выбора знаменателя.
Надеюсь, эта статья позволила вам понять, как найти третий член геометрической прогрессии с положительным знаменателем, используя информацию о сумме первых пяти членов и отношении пятого к второму члену. Удачи в решении подобных задач!