Определение алгебраической и геометрической кратности всех собственных чисел
Мне интересна математика и я решил погрузиться в изучение темы ″определение алгебраической и геометрической кратности всех собственных чисел″. Сегодня я хочу поделиться с вами своими знаниями и опытом в этой области.
Давайте начнем с понятия собственного числа. В линейной алгебре собственное число ― это число, для которого существует ненулевой вектор, который при умножении на матрицу остается параллельным самому себе, только с измененной величиной (т.е., пропорциональным собственному числу). Все собственные числа матрицы могут быть найдены из характеристического уравнения, которое определяется как det(A ⏤ λI) 0, где А ⏤ матрица, λ ― неизвестное собственное число, а I ― единичная матрица.
Алгебраическая кратность собственного числа ― это количество корней характеристического уравнения, связанных с этим числом. Например, если собственное число имеет алгебраическую кратность 2٫ то характеристическое уравнение будет иметь два корня٫ связанных с этим числом.Геометрическая кратность собственного числа ― это размерность собственного подпространства٫ связанного с этим числом. Подпространство может быть получено путем нахождения собственных векторов٫ соответствующих данному собственному числу٫ и определения его размерности. Если геометрическая кратность равна 1٫ то существует только один собственный вектор٫ связанный с данном собственным числом.Теперь давайте рассмотрим пример для уяснения этих понятий. Рассмотрим матрицу A собственных чисел 2٫ 2 и 3. Для нахождения алгебраической кратности у каждого из собственных чисел٫ мы должны найти все корни характеристического уравнения. Характеристическое уравнение det(A ― λI) 0 для этой матрицы будет иметь вид⁚
(2-λ)(2-λ)(3-λ) 0
Решая уравнение, мы получим три корня⁚ λ1 2, λ2 2 и λ3 3; Итак, алгебраическая кратность собственных чисел 2 и 3 равна 2.
Теперь рассмотрим геометрическую кратность. Для каждого собственного числа, мы должны найти собственные векторы и определить его размерность. Пусть для собственного числа 2 мы нашли два линейно независимых собственных вектора, то есть геометрическая кратность собственного числа 2 будет равна 2. Для собственного числа 3, допустим, мы нашли только один собственный вектор, следовательно, геометрическая кратность собственного числа 3 будет равна 1.
Таким образом, для матрицы A алгебраическая кратность собственных чисел 2 и 3 равна 2, а геометрическая кратность для собственного числа 2 равна 2, а для собственного числа 3 равна 1.
Я надеюсь, что эта статья помогла вам понять понятие алгебраической и геометрической кратности всех собственных чисел. Это важная тема в линейной алгебре и может быть полезной при решении различных задач и проблем в этой области.