Я решил рассмотреть задачу нахождения площади треугольника ABC, где парабола y -x^2 px q пересекает ось абсцисс в точках A и B, а точка C является вершиной параболы. Также известно, что угол между касательными проведенными в точках A и B к этой параболе равен 90 градусам.Для начала, давайте найдем координаты точек A и B. Так как дано, что парабола пересекает ось абсцисс, то значения y в этих точках равны нулю. Подставляя y 0 в уравнение параболы, получаем⁚
0 -x^2 px q
Решая это уравнение, получаем два значения x, которые будут координатами точек A и B. Обозначим эти значения как x1 и x2.Теперь найдем координаты точки C ౼ вершины параболы. Формула для нахождения абсциссы вершины параболы имеет вид x -p/2a, где a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. В данной задаче a -1, b p, c q.Таким образом, x -p/2(-1) p/2. Зная x-координату вершины параболы, легко найти y-координату подставив x p/2 в исходное уравнение параболы⁚
y ౼ (p/2)^2 p(p/2) q -p^2/4 p^2/2 q p^2/4 q
Теперь у нас есть координаты точек A (x1, 0), B (x2, 0) и C (p/2, p^2/4 q).
Для нахождения площади треугольника ABC воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин. Пусть A (x1, y1), B (x2, y2) и C (x3, y3) ౼ координаты вершин треугольника ABC.Формула для нахождения площади треугольника ABC будет выглядеть следующим образом⁚
S 1/2 * |x1(y2-y3) x2(y3-y1) x3(y1-y2)|
Подставляя значения координат для нашего треугольника ABC, получаем⁚
S 1/2 * |x1((p^2/4 q) ౼ 0) x2(0 ౼ (p^2/4 q)) (p/2)(0 — 0)|
S 1/2 * |x1(p^2/4 q) ౼ x2(p^2/4 q)|
S 1/2 * |(x1 — x2)(p^2/4 q)|
Так как угол между касательными проведенными в точках A и B равен 90 градусам, то отрезки AB и AC будут перпендикулярны. Таким образом, длина отрезка AB равна |x1 ౼ x2|. Подставим это значение в нашу формулу для площади треугольника⁚
S 1/2 * |(x1 ౼ x2)(p^2/4 q)|
S 1/2 * |AB * (p^2/4 q)|
Таким образом, площадь треугольника ABC равна половине произведения длины отрезка AB и высоты, опущенной на этот отрезок из вершины C.
Я успешно нашел площадь треугольника ABC, используя полученные ранее значения координат точек A, B и C. Эту формулу можно использовать для любой параболы, которая пересекает ось абсцисс и у которой угол между касательными равен 90 градусам.