Задача 1. Сколько различных чётных четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1‚ 2‚ 3‚ 5‚ 7‚ 8‚ если каждую цифру можно использовать в записи не более одного раза?
В данной задаче нам нужно определить количество различных четырёхзначных чисел‚ которые можно получить‚ используя заданные цифры. Для этого рассмотрим различные варианты размещения цифр в числе.
Четырёхзначное число будет иметь вид ABCD‚ где каждая из цифр A‚ B‚ C‚ D соответствует разряду числа. Чтобы число было чётным‚ последняя цифра D должна быть чётной‚ то есть 2 или 8. Осталось определить возможности для размещения цифр A‚ B и C.
Так как каждую цифру можно использовать только один раз‚ имеем следующие варианты⁚
— D 2⁚ для A‚ B и C остается четыре цифры⁚ 1‚ 3‚ 5‚ 7. Тогда общее количество вариантов равно 4! 4 * 3 * 2 * 1 24
— D 8⁚ также остаётся четыре цифры⁚ 1‚ 3‚ 5‚ 7. Тогда общее количество вариантов равно 4! 4 * 3 * 2 * 1 24
Общее количество вариантов четырёхзначных чисел‚ которые можно получить‚ составляет 24 24 48.
Задача 2. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить‚ используя комбинации цифр ниже? Цифры не должны повторяться.
В данной задаче мы имеем шесть цифр ─ 1‚ 2‚ 3‚ 5‚ 7‚ 8‚ и мы должны определить количество трёхзначных чисел‚ которые можно составить‚ не повторяя цифры.
Так как числа трёхзначные‚ они будут иметь вид ABC‚ где каждая из цифр A‚ B и C соответствует разряду числа. Для различных комбинаций определим количество вариантов для каждого разряда.
— Для A мы имеем шесть возможностей⁚ 1‚ 2‚ 3‚ 5‚ 7‚ 8.
— Для B ⎻ после того‚ как A занял одну цифру‚ у нас остаётся пять возможностей⁚
─ если A 1‚ то B может быть 2‚ 3‚ 5‚ 7 или 8 (5 вариантов);
⎻ если A 2‚ то B может быть 1‚ 3‚ 5‚ 7 или 8 (5 вариантов);
─ если A 3‚ то B может быть 1‚ 2‚ 5‚ 7 или 8 (5 вариантов);
─ если A 5‚ то B может быть 1‚ 2‚ 3‚ 7 или 8 (5 вариантов);
─ если A 7‚ то B может быть 1‚ 2‚ 3‚ 5 или 8 (5 вариантов);
─ если A 8‚ то B может быть 1‚ 2‚ 3‚ 5 или 7 (5 вариантов).
— Наконец‚ для C остается четыре возможности⁚ 1‚ 2‚ 3‚ 5‚ 7‚ 8 (так как каждая цифра может использоваться только один раз).
Общее количество комбинаций равно произведению числа вариантов для каждого разряда⁚
6 * 5 * 4 120.
Таким образом‚ можно составить 120 различных трёхзначных чисел‚ используя заданные цифры без повторений.
Задача 3. Сколькими способами можно разместить 5 автомобилей в 6-ти одноместных боксах?
В данной задаче нам нужно определить количество способов размещения 5 автомобилей в 6-ти одноместных боксах. При размещении автомобилей‚ мы не учитываем их порядок внутри каждого бокса.
Чтобы решить эту задачу‚ мы можем использовать комбинации. Мы должны выбрать 5 автомобилей из 6-ти боксов‚ поэтому применяем формулу сочетаний ″из n по k″. В данном случае n 6 (количество боксов) и k 5 (количество автомобилей).
Используя формулу n! / (k! * (n-k)!)‚ получим⁚
6! / (5! * (6-5)!) 6! / (5! * 1!) 6.
Таким образом‚ существует 6 различных способов разместить 5 автомобилей в 6-ти одноместных боксах.
Задача 4. Турист планирует маршрут путешествия. Он хочет побывать в Сочи‚ Краснодаре и в Ростове-на-Дону‚ но пока не знает последовательность посещения городов. Сколько различных вариантов маршрута он может составить?
Данная задача связана с определением количества перестановок. Мы должны определить‚ сколько различных вариантов маршрута турист может составить из трех городов⁚ Сочи‚ Краснодар и Ростов-на-Дону.
Так как города могут быть посещены в различном порядке‚ количество перестановок будет равно факториалу числа городов (3!).
3! 3 * 2 * 1 6.
Таким образом‚ турист может составить 6 различных вариантов маршрута‚ посещая города Сочи‚ Краснодар и Ростов-на-Дону в различном порядке.