Как я составил уравнение наименьшей степени с действительным коэффициентом, корнями которого являются x1 5-2i, x2I и x3-3
Когда я столкнулся с задачей составления уравнения наименьшей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются комплексные числа, я решил попробовать различные подходы и методы, чтобы найти решение․ Вот как мой процесс протекал⁚
1․ Первым делом٫ я знал٫ что коэффициенты данного уравнения должны быть действительными числами․ Для этого я решил воспользоваться теоремой о комплексных сопряженных числах٫ которая гласит٫ что если x1 ⎼ комплексное число٫ то его комплексное сопряженное٫ обозначим его как x1*٫ также является корнем этого уравнения․ Из этого следует٫ что у нас должно быть уравнение٫ в котором присутствует корень x1 и его комплексное сопряженное x1*․
2․ Теперь٫ чтобы найти решение٫ я могу использовать формулу квадратного уравнения․ Я начал с комплексного корня x1 5-2i․ Вспомнил٫ что комплексный корень имеет вид x a ± bi٫ где a и b ― действительные числа․ Поэтому٫ для первого корня٫ я можем записать x1 5 ― 2i․
3․ Затем, я применил теорему о комплексных сопряженных числах и нашел комплексное сопряженное для x1, обозначим его как x1*․ Если x a bi, то его комплексное сопряженное равно x* a ― bi․
В нашем случае, у нас есть комплексное число x1 5 ⎼ 2i, поэтому, чтобы найти его комплексное сопряженное, я просто поменял знак у мнимой части числа⁚ x1* 5 2i․4; Теперь я знал, что у нас должны быть два корня ― x1 5 ― 2i и его комплексное сопряженное x1* 5 2i․
5․ Чтобы составить уравнение, я использовал факт, что когда мы имеем корень x1٫ мы также имеем корень его комплексного сопряженного x1*․ Вместе с этим٫ у нас также есть третий корень x3 -3․ Поэтому٫ уравнение будет иметь вид⁚
(x ― x1)(x ⎼ x1*)(x ― x3) 0
Подставив значения корней, получим⁚
(x ⎼ (5 ⎼ 2i))(x ― (5 2i))(x ⎼ (-3)) 0
Раскроем скобки и упростим⁚
(x ― 5 2i)(x ― 5 ― 2i)(x 3) 0
Мы получили уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются x1 5 ⎼ 2i, x2 5 2i и x3 -3․
Таким образом, я смог составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, у которого имеются заданные корни․ Этот метод можно использовать для составления уравнений других степеней с комплексными корнями․