Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть плоскость а, в которой лежат точки А и В. Также дана точка С, которая не принадлежит этой плоскости. Для начала, обозначим точки D и E как середины отрезков АС и ВС соответственно. Теперь нам нужно доказать, что прямая DE параллельна плоскости с. Чтобы это сделать, воспользуемся следующим рассуждением. Мы знаем, что на отрезке АС есть точка D, которая является его серединой. Это означает, что отрезок AD равен отрезку DC, а также что точка D делит отрезок AC на две равные части. По аналогии, точка E является серединой отрезка ВС, поэтому отрезок BE равен отрезку EC, и точка E также делит отрезок BC пополам. Теперь предположим, что прямая DE не параллельна плоскости с. Тогда она должна пересечь эту плоскость. Пусть точка F ⎻ это точка пересечения прямой DE и плоскости с. Так как точка D лежит на прямой DE, то отрезок DF будет являться его частью. С другой стороны, так как точка D лежит на отрезке AC и делит его пополам, отрезок DF также должен делить отрезок AF пополам. Аналогично, отрезок EF делит отрезок BF пополам.
Теперь обратимся к треугольнику BFC. Мы знаем, что отрезки BE и EC равны друг другу по построению, а также, что отрезки DF и FE равны друг другу, так как они делят соответствующие отрезки пополам. Следовательно, треугольник BFC будет равнобедренным. Но если треугольник BFC является равнобедренным, это означает, что углы BCF и CBF должны быть равными, так как они соответствуют равным сторонам. Если углы BCF и CBF равны, то это говорит о том, что прямая BC лежит в плоскости с. Это противоречит условию задачи, так как точка С не лежит в плоскости с. Поэтому наше предположение о том, что прямая DE пересекает плоскость с, неверно. Таким образом, мы доказали, что прямая DE параллельна плоскости с. В рассуждениях использовались факты о серединах отрезков и свойствах равнобедренного треугольника. Данное доказательство подтверждает, что прямая, проведенная через серединные точки отрезков АС и ВС, параллельна плоскости с.