Привет, меня зовут Алексей, и я хочу рассказать вам о классе, где каждый ученик дружит ровно с шестью другими․ Эта задача, впервые предложенная американским математиком Эрдёшем, в конце 1960-х годов٫ позволяет нам найти количество учеников в этом классе․
Для начала, давайте представим, что у нас есть n учеников в классе․ Если каждый ученик дружит с шестью другими, то для каждого ученика должно быть 6 друзей․ Это означает, что общее количество дружеских связей в классе равно 6n․Также нам известно, что у любых двух учеников есть ровно два общих друга․ Это значит, что для каждой пары учеников должно быть две общие дружеские связи․ Известная формула для подсчета количества комбинаций без повторений для n элементов равна n*(n-1)/2․ В нашем случае, общее количество дружеских связей также должно быть равно n*(n-1)/2․Теперь у нас есть два уравнения, относящихся к общему количеству дружеских связей в классе․ Мы можем записать их следующим образом⁚
6n n*(n-1)/2
Упростив это уравнение, мы получим⁚
12n n^2 ‒ n
Поскольку мы ищем количество учеников, то нам нужно решить это уравнение относительно n․ Для этого мы приводим его к квадратному уравнению, перенося все члены в одну сторону⁚
n^2 ⎯ 13n 0
Теперь мы можем разложить это уравнение на множители⁚
n(n ‒ 13) 0
Отсюда видно, что n 0 или n 13․ Так как класс не может быть пустым, мы можем сделать вывод, что в этом классе 13 учеников․
Итак, ответ на поставленную задачу⁚ в классе, где у каждого ученика ровно шестеро друзей, и у любых двух учеников есть два общих друга, находится 13 учеников․