Я решил рассказать о своем опыте работы с этими неопределёнными интегралами и применении новой переменной. Когда я впервые столкнулся с задачей по нахождению интеграла ∫dx/(9sin^2x 4cos^2x-7), у меня возникли трудности. Но после некоторого изучения и экспериментирования с разными подходами к решению, я нашел выход из сложной ситуации.
Перед тем как применить новую переменную, я проанализировал исходный интеграл и заметил, что его знаменатель похож на производную функции тангенса (tg^2x 1 sec^2x). Основываясь на этом٫ я решил попробовать ввести переменную t tgx. Это позволяет мне заменить исходное выражение на более простое.Теперь٫ когда у меня есть новая переменная٫ я могу заменить выражение dx в исходном интеграле. Используя тождество dx dt/(1 t^2)٫ я заменил dx на dt/(1 t^2).∫dx/(9sin^2x 4cos^2x-7) ∫dt/(1 t^2)(9(1-t^2)^2 4t^2-7)
Далее я раскрыл скобки и упростил выражение⁚
∫dt/(1 t^2)(9 — 9t^2 9t^4 4t^2 — 7)
∫dt/(1 t^2)(9t^4 ౼ 5t^2 2)
Затем я разложил многочлен на простые дроби⁚
(9t^4 — 5t^2 2) (t^2 — 2)(9t^2 ౼ 1)
Теперь я раскладываю дробь на простые дроби⁚
∫dt/[(1 t)(1-t)(3t 1)(3t-1)]
Теперь мой интеграл имеет вид⁚
∫dt/[(1 t)(1-t)(3t 1)(3t-1)]
После разложения на простые дроби, я получил несколько дробей, которые я могу интегрировать отдельно. Как результат, интеграл принимает вид⁚
∫dt/[(1 t)(1-t)(3t 1)(3t-1)] ∫dt/(2t^2-3)
Поэтому правильный ответ будет 1) ∫dt/2t^2-3.
Мой личный опыт с использованием новой переменной показал, как это может быть полезно при решении сложных неопределенных интегралов. Это может значительно упростить задачу и привести к более прямолинейному решению.