В основании тетраэдра SABC лежит равносторонний треугольник ABC со стороной 8. Требуется найти градусную меру угла между плоскостями SAC и ABC при условии‚ что SA 4√7 и SB ⊥ (ABC).Для начала‚ давайте рассмотрим основание ABC треугольника. Так как треугольник ABC, равносторонний‚ значит все его углы равны 60 градусам.Далее‚ рассмотрим высоту треугольника ABC. Поскольку SB ⊥ (ABC)‚ то точка B перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно‚ если мы проведем прямую линию от вершины A до точки пересечения высоты с основанием‚ получим прямой угол.
Используя теорему Пифагора‚ найдем длину высоты треугольника ABC. Поскольку треугольник ABC равносторонний и его сторона равна 8‚ то длина высоты (то есть длина от вершины до середины основания) будет (8√3)/2 4√3.Теперь рассмотрим тетраэдр SABC. Заметим‚ что сторона SA делит высоту треугольника ABC на две равные части. Следовательно‚ отношение длины SA к длине высоты равно 1⁚2.Таким образом‚ SA 4√7‚ а длина высоты равна 4√3.
Теперь‚ чтобы найти градусную меру угла между плоскостями SAC и ABC‚ нам нужно найти косинус этого угла. Для этого воспользуемся формулой косинуса⁚
cos(угол) (скалярное произведение векторов SA и AC) / (длина вектора SA * длина вектора AC)
Найдем сначала скалярное произведение векторов SA и AC. Вектор AC представляет собой векторный сдвиг от точки A до точки C‚ но поскольку мы рассматриваем только плоскость ABC‚ то сдвиг происходит только по оси‚ перпендикулярной этой плоскости. Таким образом‚ вектор AC можно представить как проекцию вектора AB (вектор‚ идущий от точки A до точки B) на плоскость ABC.
Поскольку треугольник ABC равносторонний‚ его высота будет равна длине вектора AB умноженной на sin(60°). Таким образом‚ вектор AC можно представить как AB * sin(60°). Вектор SA представляет собой вектор‚ идущий от точки S до точки A‚ то есть можно записать SA как AS.Таким образом‚ скалярное произведение векторов SA и AC будет равно |AS| * |AC| * cos(угол между векторами SA и AC)‚ где |AS| и |AC| представляют собой длины этих векторов‚ и |AC| |AB| * sin(60°).Теперь мы можем записать выражение для косинуса угла между плоскостями SAC и ABC⁚
cos(угол) (|AS| * |AC| * cos(угол между векторами SA и AC)) / (|AS| * |AC|)
Исключив |AS| и |AC|‚ получаем⁚
cos(угол) cos(угол между векторами SA и AC)
Так как |SA| 4√7‚ а |AC| |AB| * sin(60°) 8 * (√3)/2 4√3‚ то можно записать⁚
cos(угол) cos(угол между векторами SA и AC) (4√7) / (4√3) √7 / √3 √(7/3)
Таким образом‚ градусная мера угла между плоскостями SAC и ABC равна arccos(√(7/3)). Подставляя значение в тригонометрическую функцию‚ получаем приближенное значение угла⁚
угол ≈ arccos(√(7/3)) ≈ 39.23 градуса.
Итак‚ градусная мера угла между плоскостями SAC и ABC составляет приблизительно 39.23 градуса.