Уровнение плоскости $\lambda$, параллельной вектору $\vec{s} \begin{pmatrix}-4\\9\\-8\end{pmatrix}$ и проходящей через точки $M_1(-2,14,-17)$ и $M_2(7,5,-8)$, задается следующим образом⁚
$a(x ⏤ x_0) b(y ౼ y_0) c(z ⏤ z_0) 0$, где $(x_0, y_0, z_0)$ ⏤ координаты точки на плоскости, а $(a, b, c)$ ⏤ нормальный вектор плоскости․Шаг 1⁚ Находим нормальный вектор плоскости $\vec{n}$, используя векторы $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{s}$․$$\vec{n} \vec{M_1M_2} \times \vec{s}$$
$$\vec{M_1M_2} \begin{pmatrix}7 ౼ (-2) \\ 5 ⏤ 14 \\ -8 ⏤ (-17)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \\ 9\end{pmatrix}$$
Теперь найдём векторное произведение⁚
$$\vec{n} \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \\ 9\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\9\\-8\end{pmatrix}$$
Для нахождения векторного произведения воспользуемся правилом⁚
$$ \vec{a} \times \vec{b} \begin{pmatrix} a_2b_3 ౼ a_3b_2 \\ a_3b_1 ⏤ a_1b_3 \\ a_1b_2 ⏤ a_2b_1 \end{pmatrix} $$
Получаем⁚
$$\vec{n} \begin{pmatrix} 81 72 \\ (-36) ⏤ (-72) \\ 36 ⏤ (-36) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 153 \\ 36 \\ 72\end{pmatrix}$$
Шаг 2⁚ Подставляем найденные значения в уравнение плоскости⁚
$$153(x ⏤ (-2)) 36(y ౼ 14) 72(z ⏤ (-17)) 0$$
Упрощаем выражение⁚
$$153(x 2) 36(y ౼ 14) 72(z 17) 0$$
Ответ⁚
Уравнение плоскости $\lambda$⁚
$$153x 306 36y ⏤ 504 72z 1224 0$$
$$153x 36y 72z 1026 0$$
Нормальный вектор плоскости $\lambda$⁚
$$\vec{n} \begin{pmatrix} 153 \\ 36 \\ 72\end{pmatrix}$$