Я рассмотрел эту задачу и хочу поделиться с вами своим личным опытом. Задание состоит в том‚ чтобы найти все действительные числа m‚ при которых векторы u(1−m‚3) и v(3‚1−m) не образуют базис на плоскости.Базис ⎼ это система векторов‚ которая способна породить все векторы данного пространства. Поэтому‚ для того чтобы векторы u и v не образовали базис на плоскости‚ они должны быть линейно зависимыми.
Допустим‚ что векторы u и v линейно зависимы. Тогда должно существовать такое действительное число k‚ что один вектор может быть выражен через другой. Мы можем записать это условие в виде следующего уравнения⁚
k * u v‚
где k — действительное число‚ а u и v — заданные векторы.Распишем это уравнение по координатам⁚
k * (1-m‚ 3) (3‚ 1-m)‚
k * (1-m) 3‚
k * 3 1-m.Приведем второе уравнение к виду⁚
m 1 ⎼ k * 3.Теперь подставим это значение m в первое уравнение⁚
k * (1 — (1 ⎼ k * 3)‚ 3) (3‚ 1 — (1 — k * 3)).Упростим уравнение⁚
k * (k * 3‚ 3) (3‚ 1 — (1 ⎼ k * 3)).k^2 * (3‚ 3) (3‚ 1 — (1 ⎼ 3k)).Раскроем скобки и упростим⁚
k^2 * (3‚ 3) (3‚ 1 — 1 3k).k^2 * (3‚ 3) (3‚ 3k).Теперь решим этое уравнение⁚
k^2 * 3 3‚
k^2 1.Мы получили квадратное уравнение‚ которое можно решить. В данном случае‚ есть два действительных числа‚ которые являются решениями этого уравнения⁚ k 1 и k -1.Теперь найдем соответствующие значения m. Подставим найденные значения k в уравнение⁚
m 1 — k * 3‚
m 1 — 1 * 3 -2.m 1 ⎼ (-1) * 3‚
m 1 3 4.
Итак‚ при значениях m равных -2 и 4‚ векторы u(1−m‚3) и v(3‚1−m) не образуют базис на плоскости. При остальных значениях m‚ эти векторы образуют базис на плоскости.
Таким образом‚ решение задачи сводится к нахождению всех действительных чисел m‚ при которых векторы u(1−m‚3) и v(3‚1−m) не образуют базис на плоскости⁚ m-2 и m4.