Я решал задачку по вычислению базиса ядра оператора, заданного матрицей в стандартном базисе. Для этого я использовал метод Гаусса.Сначала я записал расширенную матрицу, которая состоит из матрицы A и нулевого вектора. Затем начал выполнять элементарные преобразования над строками, чтобы привести матрицу A к ступенчатому виду.После выполнения элементарных преобразований я получил следующую матрицу⁚
1 -2 0 3 0
0 0 1 -2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
Теперь мне нужно выразить свободные переменные через базисные переменные. В этом случае, у меня есть две свободные переменные, что значит, что ядру оператора будет соответствовать два базисных вектора.Первая свободная переменная связана с переменной x2. Полагая x2 t, где t может быть любым числом, я нахожу x1 и x3 следующим образом⁚
x1 -2t
x3 2t
Таким образом, первый базисный вектор будет иметь вид⁚
(-2t, t, 2t, t, 0)
Вторая свободная переменная связана с переменной x4. Полагая x4 s, где s может быть любым числом, я нахожу x5 следующим образом⁚
x5 0
Таким образом, второй базисный вектор будет иметь вид⁚
(0, 0, 0, s, 0)
Итак, базис ядра оператора будет состоять из двух векторов⁚
1. (-2t, t, 2t, t, 0)
2. (0, 0, 0, s, 0)
Это решение включает в себя все шаги и промежуточные расчеты, которые я выполнил для вычисления базиса ядра оператора, заданного матрицей в стандартном базисе.