Задача 1. Вычислить пределы функций٫ не используя правило Лопиталя.a) lim (2x³ 9)/(3x² x 1)
Для вычисления данного предела, мы можем применить метод деления многочленов. Делим каждый член числителя на каждый член знаменателя по старшим степеням x.(2x³ 9)/(3x² x 1) (2 9/x³)/(3/x 1/x² 1/x³)
Как x стремится к бесконечности, все члены со степенями x остаються, а остальные члены можно пренебречь.
Следовательно, предел равен 2.Ответ⁚ lim (2x³ 9)/(3x² x 1) 2.b) lim (log4 (1 tg²x))/(1-cos 6x)
Для вычисления данного предела, мы можем использовать замечательные пределы, такие как пределы синуса и косинуса.Поскольку в знаменателе у нас есть 1-cos 6x, а 1-cos θ 2sin²(θ/2), мы можем использовать замену 6x θ/2.Тогда предел примет вид⁚
lim (log4 (1 tg²x))/(1-cos 6x) lim (log4 (1 tg²x))/(2sin²(6x/2))
Теперь мы можем использовать формулу loga(b) logc(b)/logc(a) для преобразования основания логарифма⁚
lim (log4 (1 tg²x))/(2sin²(6x/2)) lim (ln(1 tg²x)/ln4)/(2sin²(6x/2))
Теперь мы можем использовать второй замечательный предел, который гласит⁚
lim tg x/x 1
lim tg² x/x² 1
lim sin x/x 1
lim sin² x/x² 1
Применяя эти пределы, предел будет выглядеть следующим образом⁚
lim (ln(1 tg²x)/ln4)/(2sin²(6x/2)) (ln(1 1)/ln4)/(2*sin²(3x))
Сократив единицы в числителе, получим⁚
lim (ln2/ln4)/(2*sin²(3x))
Дальнейшее упрощение сводится к факту, что ln4 2ln2.Получаем⁚
lim (ln2/2ln2)/(2*sin²(3x)) lim 1/(4*sin²(3x))
Вспоминая предел sin² x/x² 1, предел будет равен⁚
lim 1/(4*sin²(3x)) 1/4
Ответ⁚ lim (log4 (1 tg²x))/(1-cos 6x) 1/4.c) lim (√(x-2)-1)/(√(2x 1)-√7)
Для вычисления данного предела, мы можем использовать формулу a²-b² (a b)(a-b).Применяя эту формулу к числителю и знаменателю, предел будет выглядеть следующим образом⁚
lim (√(x-2)-1)/(√(2x 1)-√7) lim (x-2-1)/((√(2x 1)-√7)(√(x-2) 1))
В числителе раскрываем скобки⁚
lim (x-2-1)/((√(2x 1)-√7)(√(x-2) 1)) lim (x-3)/((√(2x 1)-√7)(√(x-2) 1))
Теперь мы можем применить свойство сопряженных корней для знаменателя, которое гласит (a b)(a-b) a²-b².lim (x-3)/((√(2x 1)-√7)(√(x-2) 1)) lim (x-3)/((2x 1-7)(√(x-2) 1))
Дальнейшее упрощение сводится к факту, что (2x 1-7) 2(x-3).Получаем⁚
lim (x-3)/((2x 1-7)(√(x-2) 1)) lim (x-3)/(2(x-3)(√(x-2) 1))
Сокращаем (x-3) в числителе и знаменателе⁚
lim (x-3)/(2(x-3)(√(x-2) 1)) lim 1/(2(√(x-2) 1))
Теперь, когда x стремится к бесконечности, √(x-2) будет равно бесконечности.Поэтому предел будет равен⁚
lim 1/(2(√(x-2) 1)) 1/2
Ответ⁚ lim (√(x-2)-1)/(√(2x 1)-√7) 1/2.d) lim (x²-10x 9)/ (sin(1-x))
Для вычисления данного предела, мы можем применить косинусную формулу разности.sin(1-x) sin1*cos(-x) ⎻ cos1*sin(-x)
Теперь подставим данную формулу в начальный предел⁚
lim (x²-10x 9)/ (sin1*cos(-x) ⎻ cos1*sin(-x))
Выделим общий множитель в знаменателе⁚
lim (x²-10x 9)/ (sin1*(cos(-x)-1) ⏤ cos1*sin(-x))
Теперь, используя формулы sin(-x) и cos(-x), предел примет вид⁚
lim (x²-10x 9)/ (-cos1*sin(x) ⏤ sin1*cos(x))
Теперь мы можем выделить (-cos1) из знаменателя⁚
lim (x²-10x 9)/ (-cos1*sin(x) ⏤ sin1*cos(x)) lim (x²-10x 9)/ (cos1*(-sin(x)) ⎻ sin1*cos(x))
Мы уже использовали пределы sin x/x и cos x/x для упрощения выражения.После использования этих пределов, получим⁚
lim (x²-10x 9)/ (cos1*(-sin(x)) ⎻ sin1*cos(x)) lim (x-9)(x-1)/(cos1*(-sin(x)) ⏤ sin1*cos(x))
Избавляемся от отрицательного знака cos1 и sin1 в знаменателе⁚
lim (x-9)(x-1)/(cos1*(-sin(x)) ⎻ sin1*cos(x)) lim (x-9)(x-1)/(cos(-1)*(-sin(x)) ⎻ sin(-1)*cos(x))
Теперь мы можем применить формулу cos (π/2 x) -sin x и sin (π/2 x) cos x⁚
lim (x-9)(x-1)/(cos(-1)*(-sin(x)) ⏤ sin(-1)*cos(x)) lim (x-9)(x-1)/(cos(-π/2)*cos(x) ⎻ sin(-π/2)*(-sin(x)))
Теперь применяем тригонометрические тождества, cos(-π/2) 0 и sin(-π/2) -1⁚
lim (x-9)(x-1)/(cos(-π/2)*cos(x) ⎻ sin(-π/2)*(-sin(x))) lim (x-9)(x-1)/(0*cos(x) 1*sin(x))
lim (x-9)(x-1)/(0*cos(x) 1*sin(x)) (x-9)(x-1)/(sin(x))
Поскольку x стремится к бесконечности, sin x будет переодической функцией со значениями от -1 до 1. Получаем⁚
lim (x-9)(x-1)/(sin(x)) бесконечность
Ответ⁚ lim (x²-10x 9)/ (sin(1-x)) бесконечность.e) lim ((3x 1)/(3x-1))^ (2x 3)
Для вычисления данного предела, мы можем применить свойство экспоненты a^(b c) a^b * a^c.lim ((3x 1)/(3x-1))^ (2x 3) lim ((3x 1)/(3x-1))^2 * ((3x 1)/(3x-1))^x
Теперь обратим внимание на первый множитель⁚
lim ((3x 1)/(3x-1))^2 (3/3)^2
Сокращаем 3⁚
lim ((3x 1)/(3x-1))^2 1^2 1
Теперь обратим внимание на второй множитель⁚
lim ((3x 1)/(3x-1))^x
Данная функция представляет собой экспоненту с бесконечно малым основанием, поскольку x стремится к бесконечности.lim ((3x 1)/(3x-1))^x 0^бесконечность 0
Теперь мы можем перемножить оба множителя⁚
lim ((3x 1)/(3x-1))^ (2x 3) 1 * 0 0
Ответ⁚ lim ((3x 1)/(3x-1))^ (2x 3) 0.